Zadanie 1
Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej $k$ liczba $k^6−2k^4+k^2$ jest podzielna przez $36$.
W celu rozwiązania zadania, wykorzystamy tu zwykłe przekształcenie.
Rozwiązanie:
Założenie:
$k \in C$
Teza:
$36\left| {{k^6} – 2{k^4} + {k^2}} \right.$ dla $k \in C$
Dowód:
${k^6} – 2{k^4} + {k^2} = {k^2}{\left( {{k^2} – 1} \right)^2} = {\left[ {k\left( {{k^2} - 1} \right)} \right]^2} = {\left[ {k\left( {k - 1} \right)\left( {k + 1} \right)} \right]^2}$
Otrzymaliśmy iloczyn kolejnych trzech liczb całkowitych: Teraz wystarczy zauważyć, że wśród trzech kolejnych liczb całkowitych znajduje się co najmniej jedna liczba parzysta i dokładnie jedna liczba podzielna przez $3$.
Wniosek: Iloczyn tych liczb dzieli się zatem przez $6$. A ponieważ iloczyn tych trzech liczb jest podniesiony do kwadratu, wynika stąd, że dzieli się przez $36$ dla $k \in C$. Co należało wykazać.